В треугольнике ABC медиана BM перпендикулярна биссектрисе AD, AB=4 BM=2 корня из 7. Найти длины биссектрисы AD и стороны BC.

Т. О - т. пересечения медианы ВМ и биссектрисы AD

1) тр. АОВ = трАОМ (прямоуг, общая сторона, угВАО=угОАМ)

АМ=МС=4

АС=8

2) трАВМ-равнобедренный, АО медиана = > ВО=ОМ=корень7

3) из трАОВ АО = 3 (по теор пифагора)

4) cos (угВАО) = 3/4, sin (угВАО) = корень7/4

cos (угВАС) = 9/16 - 7/16=1/8

ВС^2=AB^2 + AC^2 - 2*AB*AC*cosBAC (по теор косин)

ВС^2=16+64-2*4*8*1/8

ВС=6 корень2

5) АD - биссектриса, делящая BD/DC=AB/AC (по св-ву бис)

BD/DC=1/2, BD=1/3*BC=2 корень2

6) из трBDO OD=корень15 (по теор пифагора)

AD=3+корень15

ответ: AD=3+кор15; BC=6 кор2