В шар вписан тетраэдр с ребром равным 1 см. Определите объём шара.

Радиус окружности, в которую вписано основание тетраэдра находим из прямоугольного треугольника, где гипотенуза - искомый радиус, а катет - половина ребра. Угол между ними 30°.

r = (1/2) / cos 30° = (1*2) / (2*√3) = 1 / √3.

Высоту тетраэдра находим по Пифагору:

H = √ (1² - (1/√3) ²) = √ (2/3).

Теперь рассмотрим осевое сечение шара, проходящее через ребро тетраэдра.

Высота в прямоугольном треугольнике (она же радиус r), проведенная из вершины прямого угла, делит его на два подобных.

Из подобия запишем пропорцию:

H/1 = 1/D. Отсюда D = 1/H = 1 / (√ (2/3)) = √ (3/2).

Объём шара равен V = (1/6) π*D³ = (1/6) π * (3/2) * (√ (3/2) = 0,96191.