Вершины треугольников находятся в точках A, B, C. A (0,-1); B (3,4); C (6,-3)

1) Составить уравнение медианы BM

2) Составить уравнение высоты BD

3) Найти cosA

4) Найти координаты центра тяжести однородной треугольной пластины ABC.

P. S 4 задачу необязательно, но лучше решите)

Вначале найдём уравнения сторон.

Для АВ. прямая проходит через точки А и В, ее уравнение 5 х - 3 у - 3 = 0

Для АС. прямая проходит через точки А и С. ее уравнение х + 3 у + 3 = 0

Для ВС. прмяая проходит через точки В и С, ее уравнение 7 х + 3 у - 33 = 0

Медиана ВМ проходит через точку В и середину отрезка АС. Найдем координаты середины отрезка АС.

х = (6 + 0) / 2 = 3 у = (-3-1) / 2 = - 2

Таким образом, медиана ВМ проходит через точки В (3; 4) и (3; -2), и ее уравнение х = 3 (она параллельна оси ординат).

Высота BD образует прямой угол с прямой АС, уравнение которой х + 3 у + 3 = 0. Условие перпендикулярности прямых - произведение их угловых коэффициентов равно - 1.

АС имеет угловой коэффициент, равный - 1/3. Следовательно, угловой коэффициент искомой прямой - высоты BD - будет равен 3. Значит, уравнение высоты имеет вид:

3 х - у - 5 = 0.

Найдем косинус А. Этот угол лежит между прямыми АВ = корень из 34 и АС = корень из 40. По теореме косинусов находим косинус А: он равен 2 / (корень из 35)

Центр тяжести треугольника - точка пересечения его медиан. Можно отыскать, применяя дфойное интегрирование, а можно (что полегче) геометрическим способом.