В треугольники АВС стороны АВ=1, АС=8, прямая, содержащая биссектрису угла А, пересекает описанную окружность в точке D, AD=6, найдите радиус окружности, описанной около треугольника

Центр окружности О соединим с точками В, Д и С. Пусть угол ВАД = ДАС = α

Точку Д соединим с точками В и С

1) По теореме о вписанном угле дуга ВД = 2α также дуга ДС = 2α

2) поэтому ВД = ДС (как хорды, стягивающие равные дуги

3) Из тр-ка ВАД по теореме косинусов

ВД² = 1+36 - 2*1*6 * cosα

4) Из тр-ка ДАС по теореме косинусов

ДС² = 36+64 - 2*6*8*cosα

5) так как ВД = ДС, то 1+36 - 2*1*6 * cosα = 36+64 - 2*6*8*cosα

отсюда cosα = 3/4

6) sin² α = 1-9/16 = 7/16 тргда sinα = √7/4

7) sin2α = 2sinαcosα = 3√7/8

8) S (АВС) = 0,5*1*8*3√7/8 = 3√7/2

Ответ S (АВС) = 3√7/2