Площадь основы прямой треугольной призмы 4 см^2, площадь боковых граней 9,10,17 см^2. Найти объем призмы

Пусть стороны основания призмы - a, b, c, а высота - h.

Тогда для площадей граней будут верны следующие выражения:

ah=10

bh=17

ch=9

А вот для площади основания придётся вспоминать формулу Герона:

S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c)), где p - полупериметр

Итак, мы можем выразить высотку призмы как:

h = 10/a = 17/b = 9/c

И отсюда:

b = 17a/10

c = 9a/10

Переходим к формуле Герона. Полупериметр:

p = (a+b+c) / 2 = (a + 17a/10 + 9a/10) / 2 = a/2 + 17a/20 + 9a/20 = (10a+17a+9a) / 20 = 36a/20 = 9a/5

Теперь выписываем площадь (помним, что она дана!):

4 = √ (p (p-a) (p-b) (p-c)) = √ (9a/5 * (9a/5-a) (9a/5-17a/10) (9a/5-9a/10)) = √ (9a/5 * ((9a-5a) / 5) ((18a-17a) / 10) ((18a-9a) / 10)) = √ (9a/5 * (4a/5) (a/10) (9a/10)) = √ (324a^4/2500) = 18a²/50

Отсюда:

18a² = 4*50

a² = 4*50/18 = 200/18 = 100/9

a = √ (100/9) = 10/3

Вспоминаем, что ah = 10. Отсюда:

h = 10/a = 10 / (10/3) = 3

И теперь объём призмы - площадь основания умножить на высоту:

V = S*h = 4*3 = 12 см³