В треугольнике ABC AB=BC=14 см. Через точку D - середину AB - проведён перпендикуляр к AB, который пересекает отрезок AC в точке Е. Найти AC, если периметр треугольника ABE равен 40 см.

DE - серединный перпендикуляр в стороне АВ.

Точка Е равноудалена от точек А и В, значит АЕ=ВЕ

Р (Δ АВЕ) = АВ+АЕ+ВЕ

40=14+2 АЕ ⇒ АЕ=13 см

Из прямоугольного треугольника ADE:

cos ∠ A = AD/AE=7/13

Так как треугольник АВС равнобедренный АВ=ВС, то и углы при основании равны

∠А=∠С

cos∠C=7/13

По теореме косинусов из треугольника ВЕС:

ВЕ² = ЕС² + ВС² - 2·ЕС·ВС·cos ∠C

13² = EC²+14²-2·EC·14· (7/13)

ЕС=х

Решаем квадратное уравнение:

·13 х²-196 х+351=0

D = (-196) ²-4·13·351=38416-18252=20164=142²

x = (196-142) / 26 = 27/13 или х = (196+142) / 26=13

АС=АЕ+ЕС=13 + (27/13) = 196/13

или

АС=13+13=26