Большая сторона треугольника, вписанного в окружность, равна 6, а вершины треугольника делят окружность на три дуги, градусные меры которых относятся как 1:4:7. Найдите неизвестные стороны и углы треугольника.

Пусть k - коэффициент пропорциональности. Тогда дуги, на которые вершины треугольника делят окружность, равны k; 4k; 7k. Т. к. градусная мера всей окружности равна 360°, то

k+4k+7k=360

12k=360

k=30

Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается:

∠A=30/2=15°

∠B=4*30/2=2*30=60°

∠C=7*30/2=7*15=105°

По теореме синусов:

AB/sinC=BC/sinA=AC/sinB

6/sin105°=BC/sin15°=AC/sin60°

BC≈1,6

AC≈5,4

Ответ: ∠A=15°; ∠B=60°; ∠C=105°; BC=1,6; AC=5,4