В треугольнике со сторонами 10, 24, 26 найдите расстояния от точки пересечения медиан до сторон и до вершин треугольника.

Обозначения.

Треугольник ABC AC = 10; BC = 24; AB = 26;

О - точка пересечения медиан, M - середина AB; N - середина AC; K - середина BC;

Прежде, чем решать, я найду длины медиан и площадь треугольника.

Площадь S = 10*24/2 = 120;

AK^2 = 10^2 + 12^2 = 244; AK = 2 √61;

BN^2 = 5^2 + 24^2 = 601; BN = √601;

CK = AB/2 = 13;

Теперь решение.

Расстояния от точки O до вершин равно 2/3 медиан.

AO = AK*2/3 = 4 √61/3; BO = BN*2/3 = 2 √601/3; CO = CM*2/3 = 26/3;

Расстояние от O до катетов очевидно равно 1/3 другого катета. Это видно из проекций точек M и O на катеты (M проектируется в середину катета, а проекция CO равна 2/3 проекции CM);

но для систематического решения лучше рассуждать так.

Площади треугольников BOC; BOA; AOC равны S/3 = 40;

поэтому искомые расстояния от точки O до сторон равны (S/3) * 2 / (сторона);

до AC: ... = 40*2/10 = 8; до BC: ... = 40*2/24 = 10/3; до AB: ... = 40*2/26 = 40/13;

таким способом находятся все три расстояния