Прямая, содержащая биссектрису угла B треугольника ABC, пересекает описанную около этого треугольника окружность в точке D. Сторона AC=5 и делит отрезок BD в отношении 3:1, считая от точки B. Найдите периметр треугольника ABC

Пусть Е - точка пересечения AC и BD. Пусть EB = x; AE = y; далее, стандартно, AB = c; BC = a; AC = b = 5; Известно, что BE = 3*x; надо найти a + b + c (то есть, на самом деле, a + c, b = 5)

По свойству биссектрисы (b - y) / y = a/c;

и по свойству пересекающихся хорд y * (b - y) = 3*x^2;

отсюда получается (a/c) * y^2 = 3*x^2;

кроме того, треугольники ABE и BDC подобны (по двум углам, углы BAE и BDC опираются на одну дугу BC, а углы ABE и DBC равны, потому что BE биссектриса), поэтому с / (3*x) = 4*x/a; или a*c = 12*x^2;

если разделить два последних равенства друг на друга, получится

y^2/c^2 = 1/4; или y = c/2; b - y = a/2;

Следовательно a/2 + c/2 = b; и a + b + c = 3*b = 15;