В прямоугольном треугольнике ABC высота CH делит диагональ гипотенузу AC в отношении 2:3. Найдите площадь ABC, если его больший катет равен 9

Нарисуем треугольник, проведем высоту из вершины прямоуго угла и обозначим ее СН.

У высоты прямоугольного треугольника есть свои собственные свойства.

Одно из них:

1) Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное между гипотенузой и отрезком ВН гипотенузы, заключенным между катетом и высотой.

Катет СВ=9

Отрезки, на которые высота поделила гипотенузу, равны 2 х и 3 х (2 х: 3 х=2:3), причем 3 х ближе к вершине В (проекция стороны СВ)

А всего в гипотенузе таких отрезков 5 х.

СВ²=ВН·ВА

81=3 х·5 х

5 х²=81

х=0,6√15

ВН=3·0,6√15=1,8√15

НА=2·0,6√15=1,2√15

2) Отношение отрезков гипотенузы, на которые высота делит ее, равно отношению соответственных катетов.

9:АС=1,8√15:1,2√15

9:АС=1,5

АС=6

S АВС=9·6:2=27 (?) ²