Центр вписанной в треугольник АВС окружности делит биссектрису угла В на части 9 и 5, считая от вершины В. сторона АС равна 15, а разность двух других сторон равна 1. Oпределите радиус вписанной окружности

Дано:

- треугольник АВС, биссектриса ВД, вписанная окружность с центром О,

- АВ = х,

- ВС = х + 1,

- АС = 15,

- ВО: ОД = 9:5.

Деление биссектрис точкой их пересечения (а это центр вписанной окружности) определяется формулой:

ВО: ОД = (АВ + ВС) / АС = (х + х + 1) / 15 = 9/5.

Сократим знаменатели на 5 и приведём к общему знаменателю:

2 х + 1 = 3*9,

2 х = 27 - 1 = 26,

х = 26/2 = 13 это сторона АВ.

Находим сторону ВС = 13 + 1 = 14.

Полупериметр р = (13+14+15) / 2 = 21.

Площадь S треугольника АВС находим по формуле Герона:

S = √ (p (p-a) (p-b) (p-c)) = √ 7056 = 84.

Тогда радиус вписанной окружности r = S/p = 84/21 = 4.