Треугольник АВС

высота СМ

АС=8

СВ=6

Угол С=90°

См-медиана

S acm-?

1) Дано: Δ АВС; ∠B=90°; СС' - биссектриса угла С (∠С'CB=∠C'CA);

C'B=8; CC'=16

Решение.

Из ΔС'CB

sin ∠BCC'=BC'/CC'=8/16=1/2 ⇒∠BCC'=30°

∠С'CB=∠C'CA=30° (СС' - биссектриса и делит угол С пополам)

∠С=60°

Cумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° ⇒∠ВАС=90°-60°=30°

Сумма смежных углов равна 180°

∠DAC=180°-30°=150°

2) Дано: Δ АВС; ∠C=90°; BC=10; CD⊥AB; BD=5

Решение.

ΔBDC-прямоугольный, cos∠CBD=BD/BC=5/10=1/2

∠CBD=60°

Cумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° ⇒∠ВАС=90°-60°=30°

В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30° равен половине гипотенузы, значит гипотенуза в два раза больше катета ВС.

АВ=20

AD=AB-DB=20-5=15

3) Дано: Δ ACD, AC=DC=4; CF⊥AD; ∠DCF=30°; FB⊥AC

Решение.

CF - высота, медиана и биссектриса Δ ACD

∠DCF=∠ACF=30° ⇒ ∠ACD=60°

ΔACD - равнобедренный (AС=СD=4 по условию)

значит углы при основании (180°-60°) / 2=120°/2=60°

ΔACD - равносторонний

AC=CD=AD=4

AF=FD=2 (CF - медиана)

В прямоугольном треугольнике АВF

∠ВАF=60°, значит ∠BFA=30° (cумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°)

В прямоугольном треугольнике катет против угла в 30° равен половине гипотенузы, значит ВF=AF/2=1.

4) Дано: Δ ABC, ∠C=90°; М - середина АВ ⇒АМ=ВМ; ∠CMD=∠DMA;

∠САВ=30°

Решение.

Cередина гипотенузы - центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника.

Поэтому МА=МВ=МС=R

МС=МА ⇒ ΔМСА - равнобедренный ⇒ биссектриса MD - высота и медиана ⇒ MD⊥AC

BC║MD

MD - средняя линия треугольника АВС

MD=BC/2=4/2=2