Докажите, что в правильном многоугольнике сумма длин перепендикуляров, проведённых из точки, взятой внутри этого многоугольника, на все его стороны, равна радиуу вписанной в этот многоугольник окружности, умноженному на число сторон.

Если из точки, с которой проведены перпендикуляры к сторонам многоугольника провести еще и прямые соединяющие концы сторон многоугольника, то мы получим n-теугольников. Площадь одного такого треугольника равна

(1/2) * l*a, где l - перпендикуляр к стороне многоугольника, а а-сторона многоугольника.

Сложив площади всех треугольников, мы получим площадь многоугольника S = (n/2) * (l1+l2+ ... + ln) * a

С другой стороны, площадь многоугольника вписанного в окружность равна

S=r*n*a/2

То есть

(n/2) * (l1+l2+ ... + ln) * a = r*n*a/2

То есть

(l1+l2+ ... + ln) * a = r*a

Что и надо было доказать