Выразите сторону, периметр и площадь правильного треугольника: а) через радиус вписанной окружности; б) через радиус описанной окружности

А) Радиус вписанной окружности в правильный треугольник равен 1/3 от медианы, высоты и биссектрисы ⇒ высота равна 3r. Тогда имеем прямоугольный треугольник, в котором a - гипотенуза, a/2 и 3r. По теореме Пифагора получаем a = 6r/√3 = 6√3 · r/3 = 2√3 · r. Тогда периметр равен 6√3 · r, а площадь 0.5 · 2√3 · r · 3r = 3√3 · r².

Ответ: сторона равна 2√3 · r, периметр равен 6√3 · r, площадь равна 3√3 · r².

б) R = a/√3, откуда a = R√3. S = a²√3/4 = 3R²/4. Наконец, периметр равен 3a = 3R√3.

Ответ: сторона равна R√3, периметр равен 3R√3, площадь равна a²√3/4.