Высота СД прямоугольного треугольника АВС, опущенная на гипотенузу АВ, равна 4 8/13 дм, проекция катетов на неё равна 11 1/13 дм. найти все стороны этого треугольника

высота СД прямоугольного треугольника АВС, опущенная на гипотенузу АВ, равна 4 8/13 дм, проекция катетов на неё равна 11 1/13 дм. найти все стороны этого треугольника

CD=h = 4 8/13 дм = 60 / 13

AB=c - гипотенуза

AC (а), BC (b) - катеты

c1 и с2 - длины отрезков, на которые высота делит гипотенузу

с1=11 1/13 дм = 144/13

способ 1

h^2=c1*c2 - свойство прямоугольного треугольника

с2 = h^2 / c1 = (60 / 13) ^2 / (144/13) = 25/13

гипотенуза c = с1+с2=144/13+25/13 = 13 дм

дальше по теореме Пифагора

первый катет a^2=h^2 + c1^2; a=√ (h^2 + c1^2) = √ (60 / 13) ^2 + (144/13) ^2=12 дм

второй катет b^2=h^2 + c2^2; b=√ (h^2 + c2^2) = √ (60 / 13) ^2 + (25/13) ^2=5 дм

способ 2

по теореме Пифагора

первый катет a^2=h^2 + c1^2; a=√ (h^2 + c1^2) = √ (60 / 13) ^2 + (144/13) ^2=12 дм

высота, падающая на гипотенузу, связана с катетами соотношением

1/a^2 + 1/b^2=1/h^2 - свойство прямоугольного треугольника

второй катет 1/b^2=1/h^2 - 1/a^2; b^2 = (ah) ^2 / (a^2-h^2) = (12*60/13) ^2 / (12^2 - (60/13) ^2) = 25; b = 5 дм

по теореме Пифагора

гипотенуза с^2 = a^2 + b^2; c = √ (a^2 + b^2) = √ (12^2 + 5^2) = √169 = 13 дм

способ 3

ответ стороны треугольника 5, 12, 13