В прямоугольном треугольнике окружность делит гипотенузу и катет пополам. В каком соотношении находится касательная к другому катету?

Пусть M - середина гипотенузы AB, N - середина катета BC, K - точка касания данной окружности с прямой AC, P - середина средней линии MN треугольника ABC. Перпендикуляр к AC, проведённый через точку K, проходит через центр окружности и делит пополам перпендикулярную ему хорду MN, т. е. проходит также через точку P. Тогда

CK = NP = MN =. AC = AC.

Следовательно, CK : AK = 1 : 3.