Отрезок прямой, соединяющей центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра, равен стороне основания. Найти угол между смежными боковыми гранями пирамиды. (Ответ: arccos (7/15))

Дана правильная треугольная пирамида. Примем ребро основания за 1.

Проведём осевое сечение пирамиды через боковое ребро.

Для правильной треугольной пирамиды центр основания совпадает с проекцией вершины на основание и точкой пересечения медиан основания (а также высот и биссектрис).

Заданный отрезок прямой, соединяющей центр основания правильной треугольной пирамиды с серединой бокового ребра и равный стороне основания, - это медиана прямоугольного треугольника.

Поэтому боковое ребро как гипотенуза в 2 раза больше этого отрезка, то есть равно 2.

Проекция бокового ребра на основание равна (2/3) высоты основания или равно (2/3) * 1*cos 30 ° = (2√3) / (3*2) = √3/3.

Высота основания равна: h = a*cos30° = √3/2.

Косинус угла α наклона бокового ребра к основанию равен:

cos α = (√3/3) / 2 = √3/6.

Синус этого угла равен:

sin α = √ (1 - (√3/6) ²) = √ (1 - (3/36) = √33/6.

Опустим перпендикуляр из середины ребра основания на боковое ребро. Это будет высота h в равнобедренном треугольнике сечения, перпендикулярном боковому ребру. Угол между его боковыми сторонами и будет искомым углом β между смежными гранями.

Высота h сечения равна произведению высоты основания на синус α.

h = (√3/2) * (√33/6) = √99/12 = √11/4.

Боковые стороны в треугольника перпендикулярного сечения равны:

в = √ ((а/2) ² + h²) = √ ((1/4) + (11/16)) = √15/4.

Искомый угол β между гранями находим по теореме косинусов:

cos β = (√15/4) ² + (√15/4) ² - 1²) / (2 * (√15/4) * (√15/4)) = 14/30 = 7/15.

Этому косинусу соответствует угол 1,085278 радиан или 62,18186 °.

Этот же угол можно было определить через двойной угол, тангенс которого равен отношению половины стороны основания к высоте h.

β = 2arc tg ((1/2) / (√11/4)) = 2arc tg (2√11/11).