В шар радиуса 9 вписан прямой круговой цилиндр. Найти высоту цилиндра, при которой его объем является наибольшим.

Надо составить уравнение объёма, найти производную и приравнять её нулю. Обозначим высоту цилиндра х.

Радиус основания цилиндра r = √ (R² - (x/2) ²) = √ (R² - (x²/4)).

Площадь основания S = πr² = π (R² - (x²/4) = πR² - (πx²/4).

Объём цилиндра V = S*x = (πR² - (πx²/4)) * x = πR²x - (πx³/4).

Производная V' = πR² - (3πx²/4) = 0.

Сокращаем на π и получаем:

(3/4) х² = R² = 9² = 81

x² = 81 / (3/4) = (81*4) / 3

x = (9*2) / √3 = 18 / √3 = 10,3923.