Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 5. Найти длины катетов этого треугольника

Радиус вписанной в прямоугольной треугольник окружности равен r = (a+b-c) / 2

Радиус описанной вокруг прямоугольного треугольника окружности равен R=c/2

где a, b-катеты, c - гипотенуза

отсюда с=2*5=10

a+b=2*2+10=14

По теореме Пифагора a^2+b^2=c^2

a^2+b^2=10^2=100

a^2+b^2 = (a+b) ^2-2ab=100

14^2-2ab=100

2ab=196-100=96

ab=96:2=48

a+b=14

ab=48

(6+8=14; 6*8=48)

по теореме обратной к теореме Виета

a=6 b=8 или a=8, b=6

ответ: длины катетов 6 и 8