Параллельные стороны трапеций равны a и b. Найдите длину отрезка параллельную сторонам a и b которая делит площадь трапеций пополам.

Если обозначить длину искомого отрезка за c, получим следующее равенство:

(a+c) * h/2 = (c+b) * (H-h) / 2

где h - высота трапеции со сторонами a и c, H - высота исходной трапеции со сторонами a и b

с другой стороны, рассматривая подобные треугольники, нетрудно показать, то (b-a) / (с-a) = H/h, то есть H = h * (b-a) / (с-a)

подставим H в первое уравнение:

(a+c) * h/2 = (c+b) * (h * (b-a) / (с-a) - h) / 2

из чего (выносом h) следует

(a+c) = (c+b) * ((b-a) / (с-a) - 1)

или приведением к общему знаменателю суммы в скобках

(a+c) = (c+b) * (b-a-с+a) / (с-a)

или

(с-a) * (a+c) = (c+b) * (b-с)

или

с^2 - a^2 = b^2 - с^2

или

2*с^2 = b^2 + a^2

или

с = корень ((b^2 + a^2) / 2) - длина промежуточного отрезка равна корню из суммы квадратов a и b деленной на два - или среднеквадратичное из длин оснований

например a = 8, b = 6, с = корень ((64+36) / 2) = корень (50)