Дан треугольник ABC, в котором K принадлежит AB, AK:KB=3:2; L принадлежит BC, BL:LC=1:3; AL пересекает CK в точке T, (BT) пересекает (AC) в точке M. Найдите:

а) AT:TL

б) BT:BM

Проведём LD параллельно CK.

Применим теорему про пропорциональные отрезки:

KD:DB=CL:LB=1:3;

AK:KD=AK: (BK:4) = 6:1;

AT:TL=AK:KD=6:1

Проведём LE параллельно BM.

Тогда из той же теоремы:

ME:EC=3:1;

AM:ME=6:1 (из уже доказанного соотношения);

а отсюда:

AM:MC=18:4=9:2.

В принципе, это соотношение можно получить и из теоремы Чевы.

Проведём MF параллельно CK.

BT:TM=BK:KF=2: (3*2/9) = 3:1.

Узнаём нужное, прибавив к TM BT:

BT:BM=BT: (TM+BT) = 3: (3+1) = 3:4.

Ответ: а) 6:1; б) 3:4.