Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник BCD, если она касается стороны BC в точке P и известно, что BD=BC = 15 см, CP=12 см

Треугольник ДВС равнобедренный. Значит, биссектрисы углов при основании треугольника делят его на равные доли. Центр окружности - точка О. Точка касания окружности в основании треугольника - Н. Треугольник ОНС и треугольник ОРС равны. Оба прямоугольные и гипотенуза общая, катеты равны радиусу вписанной окружности. Отсюда РС=НС=12 см. Но треугольник ДОС равнобедреный. У него углы при основании равны, значит ДН=НС=12 см. Т. е. ОН делит ДС пополам и является перпендикуляром, а ВО - биссектриса угла В. Смежные углы ВОР, РОС и СОН в сумме дают 180 градусов. Значит ВН - прямая линия! Она медиана, высота и биссектриса при вершине угла В равнобедренного треугольника. Находи её по теореме Пифагора. Она равна корень из (225-144) = 9 см. А теперь из треугольника ВОР ищем ОР. (9-х) ^2 - x^2=9 Отсюда

81-18 х+x^2-x^2=9 18x=72 x=4. Радиус окружности, вписанной в треугольник ВСД равен 4 см.

Отрезки касательных из одной точки к окружности равны. Поэтому сторона CD (основание) = 24 см (треугольник BCD - равнобедренный, значит отрезки сторон от точек касания вписанной окружности до вершин C и D - равны по12 см). тогда по формуле радиуса окружности вписанной в равнобедренный треугольник:

r = b/2√[ (2a-b) / (2a+b) ], где a - боковая сторона, b - основание)

имеем: 12√6/54 = 12/3 = 4 см.

или по более общей формуле радиуса окружности вписанной в треугольник через полупериметр:

r = √ (p-a) (p-b) (p-c) / p = √12*12*3/27 = 4 см (р - полупериметр (15+15+24) : 2 = 27)