В тетраэдре abcd ребро ad имеет длину 5, а все остальные ребра равны 4.

а) Докажите, что прямы ad и bc перпендикулярны.

б) Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, содержащей прямую ad и перпендикулярной bc.

А) Перпендикуляр из B на AD попадает в середину E отрезка AD (следует из равнобедренности треугольника ABD). По той же причине перпендикуляр из C на AD попадает в ту же точку E. Значит, вся прямая BC лежит в плоскости, перпендикулярной AD⇒ BC⊥AD.

б) Опуская перпендикуляры из A и D на BC, оба раза попадаем в середину F отрезка BC, поскольку треугольники BAC и BDC равнобедренные (даже равносторонние). Значит, BC⊥плоскости AFD, то есть AFD - искомая плоскость. AF=DF=5√3/2; AD=4. Найдя с помощью теоремы Пифагора высоту этого треугольника, опущенную из вершины F

(H^2 = (5√3/2) ^2-2^2=59/4; H = (√59) / 2; находим и площадь

S = (1/2) ·4· (√59) / 2=√59