В треугольнике АВС сторона АВ на 4 больше стороны ВС. Медиана ВЕ делит треугольник на два треугольника. В каждый из этих треугольников вписана окружность. Найдите расстояние между точками касания окружностей с медианой ВЕ.

Пусть точки касания вписанных окружностей делят стороны треугольника CBE на отрезки (считая от С) z1 z2 z3, так что EC = z1 + z3; CB = z1 + z2; BE = z2 + z3; аналогично для треугольника EBA AE = z5 + z6; AB = z5 + z4; BE = z6 + z4;

Надо найти z4 - z2; (это - расстояния от точки B до точек касания окружностей с BE)

По условию

z4 + z5 = z1 + z2 + 4;

z1 + z3 = z6 + z5; (точка E - середина AC, AE = CE)

z2 + z3 = z4 + z6; (=BE)

Вычитая из третьего уравнения второе, легко найти

z4 - z5 = z2 - z1;

Если это сложить с первым, то

2*z4 = 2*z2 + 4;

откуда z4 - z2 = 2;