К двум непересекающимися окружностям проведены две общие внешние касательные и общая внутренняя касательная. Докажите, что отрезок внутренней касательной, заключенный между внешними касательными, равен отрезку внешней касательной, заключенному между точками касания

Обозначения. Для внешних касательных точки касания А и В ("сверху"), А1 и В1 ("снизу"), внутренняя касательная пересекает внешние в точках К (c прямой АВ) и K1 (с прямой А1 В1). С - "верхняя" точка касания внутренней касательной, С1 - "нижняя".

Получается вот что - одной окружности (ну, пусть слева на чертеже) касательные касаются в точках А, А1 (это внешние) и С1 (это - внутренняя, как бы ниже линии центров), а другой (которая справа) - в точках В, В1 (внешние) и С (внутренняя, выше линии центров). Точка К1 лежит ниже линии центров (и "слева"), и К1 А1 = К1 С1; точка К лежит выше линии центров (и "справа"), КВ = КС.

СС1 = КС1 - КС = КА - КС = АВ - КВ - КС = АВ - 2*КС.

СС1 = К1 С - К1 С1 = К1 В1 - К1 С1 = А1 В1 - К1 С1 - А1 К1 = А1 В1 - 2*К1 С1;

Но АВ = А1 В1, поэтому К1 С1 = КС;

АВ = КС1 + КВ = КК1 - К1 С1 + КС = КК1, ч. т. д.