Точки A, B, C, D не принадлежат одной прямой. Известно, что прямая AB пересекает отрезок CD, а прямая CD пересекает отрезок AB. Докажите, что отрезки AB и CD пересекаются.

Допустим, что отрезки не пересекаются. Тогда существует 2 точки пересечения прямых AB и CD (на отрезке AB и на отрезке CD). Но существует только 3 вида расположения прямых: пересечение, параллельность и совпадение. Прямые не совпадают, т. к. все точки не лежат на одной прямой, Прямые не параллельны, т. к. существует точка (и) их пересечения, но и не пересекаются, т. к. пересекающиеся прямые имеют только одну точку пересечения (в 7 классе проходится эта теорема ... Евклида, что ли ...). Мы пришли к противоречию, а значит, отрезки пересекаются.