из точки А, лежащей вне круга, проведены две касательные к нему, В и С - их точки касания. Докажите, что точка пересечения биссектрис треугольника АВС лежит на исходной окружности.

Решение: Пусть О - центр окружности, пусть Р - ближняя из точек пересечения окружности и отрезка АО. Пусть N - точка пересечения

Тогда прямоугольные треугольники OAC и ОAB равны за катетом и гипотенузой (ОF=ОA, ОC=ОB - как радиусы). Значит из равности треугольников, AC=AB

угол АOC=угол AOB (то же самое угол РOC=угол РOB)

угол OAC=угол OAB (то же самое угол OРC=угол OРB), значит АP - биссектриса угла А, (то же самое, что AN - биссектриса угла А)

AC=AB - значит треугольник ABC - равнобедренный

Биссектриса равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, есть его высотой и медианой

треугольник ABC - равнобедренный, AN - биссектриса угла А, значит

угол ANB = угол ANC=90 градусов

треугольник BOP - равнобедренный (BO=OP - как радиусы),

значит угол PBO = угол BPO

Пусть угол BOA = угол BOP = угол BON=х.

Сумма углов треугольника равна 180.

Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов.

Тогда с треугольника BOP

угол PBO = угол BPO = (180 - х) / 2=90-х/2

с треугольника AOB угол OAB=90-х

угол ABP = угол OAB - угол PBO=90-х - (90-х/2) = x/2

угол PBN=90-угол OAB - угол ABP=90 - (90-x) - x/2=x/2

угол ABP = угол PBN, значит BP - биссектриса угла B.

Итак, точка P - точка пересечения биссектрис треугольника ABC, что и требовалось доказать.