Через точку C, лежащую вне окружности с центром, проведены две секущие к этой окружности. Одна из них пересекает окружность в точках A и B (B лежит между А и С), а вторая проходит через точку О и пересекает окружность в точках P и Q (Q между С и P). Найдите угол ACР, если OAP равен 72 градусам, а отрезок BC равен радиусу окружности.

Пусть искомый угол ACP = α;

Треугольник CBO равнобедренный, поэтому угол BOC = α; отсюда угол CAQ = α/2; поэтому, как внешний угол треугольника CAQ, угол AQP = 3 α/2; это вписанный угол, опирающийся на дугу AP.

Центральный угол, опирающийся на ту же дугу AP - это угол AOP, поэтому он равен 3α;

Треугольник AOP - равнобедренный, то есть угол OPA = угол OAP = 72 ° (по условию); откуда угол AOP = 36 °;

3 α = 36°;

α = 12°;