Задание 1. В правильной пирамиде площадь основания составляет 1/3 площади полной поверхности. Найти двугранный угол при основании пирамиды.

Задание 2. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует со стороной основания угол β. Отрезок, который соединяет центр вписанной в боковую грань окружности с вершиной основания этой грани, равен 1. Определить боковую поверхность пирамиды.

Задание 1. В правильной пирамиде площадь основания составляет 1/3 площади полной поверхности. Найти двугранный угол при основании пирамиды.

Примем длину стороны a основания за 1, периметр Р = 3 а = 3.

Тогда площадь основания So = a ²√3/4 = √3/4.

Площадь полной поверхности S = 3So = 3√3/4.

Площадь боковой поверхности равна:

Sбок = S - So = (3√3/4) - (√3/4) = 2√3/4 = √3/2.

А так как Sбок = (1/2) РА, то апофема А равна:

А = 2Sбок/P = 2 * (√3/2) / 3 = √3/3.

Высота основания h = a*cos30° = 1 * (√3/2) = √3/2.

Проекция апофемы на основание в правильной треугольной пирамиде равна (1/3) h = √3/6.

Двугранный угол между боковой гранью и основанием равен плоскому углу α между апофемой и её проекцией на основание.

cos α = ((1/3) h/A) = (√3/6) / (√3/3) = 3/6 = 1/2.

α = arc cos (1/2) = 60°.

Задание 2. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро образует со стороной основания угол β. Отрезок, который соединяет центр вписанной в боковую грань окружности с вершиной основания этой грани, равен 1. Определить боковую поверхность пирамиды.

Заданный отрезок длиной 1 - это часть биссектрисы угла боковой грани при основании от вершины до пересечения с апофемой.

Сторона а основания равна:

а = 2*1*cos (β/2) = 2cos (β/2). Периметр основания Р = 4 а = 8cos (β/2).

Апофема А равна:

А = (а/2) * tg β = cos (β/2) * tgβ.

Тогда Sбок = (1/2) РА = (1/2) * (8cos (β/2)) * (cos (β/2) * tgβ) = 4cos² (β/2) * tgβ

(можно заменить функцию половинного угла на целого, но формула получится более громоздкая).