В прямоугольном треугольнике гипотенуза равна 20 см, а угол между бисектрисой и медианой, которые проведены из вершины прямого угла равен 15 градусам. Найти катеты треугольника.

Пусть это будет тр-к АВС с прямым углом С. АВ = 20 см. Биссетриса СЕ, и медиана СД.

Угол ВСЕ = 45 гр., т. к. СЕ - биссектриса. По условию угол ДСЕ = 15 гр., тогда угол ВСД = 60 гр.

Медиана СД, проведённая из вершины прямого угла С равна половине гипотенузы, т. е. СД = ВД и тр-к ВСД - равнобедренный, углы при основании ВС равны.

угол СВД = угол ВСД = 60 гр. Тогда ВС = СД = ВД = 0,5 АВ = 0,5·20 = 10 (см)

По теореме Пифагора: АС = √ (АВ² - ВС²) = √ (20² - 10²) = √ (400 - 100) = √300 = 10√3 (см)

Ответ: катеты тр-ка равны 10 см и 10√3 см