как доказать, что середины сторон произвольного четерехугольника являются вершинами параллелограмма?

Это теорема Вариньона.

Провести сначала одну диагональ четырехугольника.

В полученных треугольниках, отрезки, соединяющие середины сторон, являются средними линиями и параллельны основанию, то есть диагонали.

Т. о. эти отрезки параллельны друг другу.

Аналогично с другой диагональю и еще двумя отрезками.

В полученном четырехугольнике противоположные стороны параллельны - т. е. он параллелограмм.