В конус вписана пирамида. Основанием которой служит треугольник, катет которого равен 2 А, а прилежащий угол равен 30 градусов. Боковая грань пирамиды проходящая через данный катет составляет с плоскостью основанием угол 45 градусов. Найдите объем конуса

Ось конуса проходит через середину гипотенузы треугольника в основании вписанной пирамиды. Эта гипотенуза есть диаметр круга в основании конуса, и равен 2 а / cos 30 = 2a / (V3/2) = 4a / V3, а радиус - 2 а / V3.

Второй катет треугольника, образованный радиусом, половиной катета 2 а / 2 = а, равен половине радиуса, т. е. а / V3.

Этот катет и составляет с высотой боковая грани угол 45 градусов.

Поэтому высота конуса равна этому катету - a / V3.

Площадь круга в основании конуса S = п r^2 = 4 пa^2 / 3,

Объём конуса V = 1 / 3 S H = 1 / 3 ((4 пa^2) / 3) * a / V3 = 4 пa^3 / 9V3.