Пусть точки C1 и A1 сторон AB и BC треугольника ABC соответственно выбраны так, что AC1:C1B=2:5, а BA1:A1C=6:1. Отрезок C1A1 пересекает медиану BM треугольника в точке N. Найдите отношение BN:nm

Это задача на теорему Менелая.

(AC1/C1B) * (BA1/A1C) * (CB1/B1A) = 1; B1 - точка пересечения C1A1 и AC; вообще то тут стоит - 1; но про ориентацию отрезков в данном случае можно забыть.

Пусть B1C = y; B1A = x;

(2/5) * (6/1) * y / (x + y) = 1; Это применена теорема Менелая к треугольнику ABC.

x + y = (12/5) * y; x = (7/5) * y; AM = MC = x/2 = (7/10) * y; MB1 = y + x/2 = (17/10) * y;

Теперь теорема Менелая применяется к треугольнику ABM (можно и к CBM);

(AC1/C1B) * (BN/NM) * (MB1/B1A) = 1;

(2/5) * (BN/NM) * (17/10) / (12/5) = 1;

BN/NM = 60/17;

Для тех, кто не знаком с теоремой Менелая (которая доказывается элементарно), есть такой вариант решения (коротко)

Если провести параллельные AC прямые через C1 и A1, то стороны и медиана разобьются на куски в пропорциях 5:1:1, считая от вершины B.

Получилась трапеция с основаниями (5/7) * x и (6/7) * x; x = AC; в которой C1A1 - диагональ. Она делит заключенный между "основаниями" кусок медианы в пропорции 5/6, считая от меньшего.

То есть, если медиана m, то между основаниями (1/7) * m; и эта "седьмушка" делится на куски (5/11) * (1/7) * m и (6/11) * (1/7) * m;

нужное отношение

BN/NM = ((5/7) * m + (5/11) * (1/7) * m) / ((1/7) * m + (6/11) * (1/7) * m) = 60/17