Докажите, что если две высоты треугольника равны, то этот треугольник является равнобедренным.

Как известно, в равнобедренном треугольнике попарно равны боковые стороны и углы при основании. Доказательство будем строить именно на этом.

Предположим, что тр-к ABC - равнобедренный

1) Проведём высоту AK к основанию BC. По св-ву равнобедр. тр., она будет также медианой и биссектрисой. Значит, тр-ки ABK b ACK будут равны по стороне и двум прилежащим углам (половины основания, углы при основании и два прямых угла).

2) Проведём высоты BM и CH к сторонам АС и АВ соответственно.

Три высоты пересекутсся в точке О, и все они будут делиться по соотношению 2:1, считая от вершин.

В 1 действии мы доказали, что тр. ABK и ACK равны. Значит, если высоты пересекаются в одной точке, лежащей на общей стороне AK этих двух треугольников, то отрезки высот - BO-OM и CO-OH будут равны (т. к. не смещена линия симметрии):

BO=CO

OM=OH

Если равны все отрезки высот, то буду равны и целые высоты:

BM = CH, чтд.

Всё!