Длина сторон треугольника равны А, Б, В. А, Б, В - простые числа. Докажите, что площадь этого треугольника не целое число.

Да запросто, по крайней мере, я постараюсь.)

Площадь будем искать по Герона, так как известны только стороны, равные a, b, c.

p = (a+b+c) / 2;

S=√ ((a+b+c) / 2) * (b+c-a) / 2 * (a+c-b) / 2 * (a+b-c) / 2) = (1/4) √ (a+b+c) (b+c-a) (a+c-b) (a+b-c).

16S² = (a+b+c) (b+c-a) (a+c-b) (a+b-c).

Допустим, S-целое число, в таком случае выражение под корнем должно быть кратно 4-рем. Отсюда следует, что либо все 3 числа четные, либо среди них 1 четное и 2 нечетных.

1) все четны, т. е., a=b=c=2;

S=√3*1=√3 - не целое.

2) 1 четное и 2 нечетных:

Примем a=2, b≠c - нечетные числа.

В таком случае |b-c|≥2, т. к. следующие два простых числа после двойки 3,5. Неравенство треугольника не выполнено.

3) a=2; b=c;

S=√ (1+b) (b-1) = √b²-1.;

Очевидно, что данное равенство для S не имеет решений в целых числах.

Т. е., доказанно, что площадь этого треугольника не целое число.