В равнобедренном треугольнике АВС боковые стороны равны 10. Основание АС равно 12. Определите радиус окружности, касающейся боковой стороны в точке основания высоты, проведенной к боковой стороне и проходящей через середину АС

Пусть точки М и N - основания высот, проведённых к сторонам АС и АВ соответственно. Тогда окружность пройдёт через эти точки. Т. к. она касается стороны АВ в точке N, то диаметр окружности принадлежит высоте СN, т. к. 'CN_|_AB' (как-то плохо доказано, как правильно?). Пусть окружность пересекает CN в точке D, тогда ND - диаметр; угол DMN - прямой, т. к. опирается на диаметр; треугольник DMN - прямоугольный.

Треугольники AMN и ABC подобны (Так и не понял почему. Где-то читал, что они должны быть подобны, а вот по какому признаку?. Мне кажется, что тут дело в равенстве углов, но как доказать? Один угол общий BAC=MAN, а вот другой?). Т. к. треугольник АВС - равнобедренный с основанием АС, то высота ВМ - медиана, т. М - середина АС, АМ=12/2=6.

Из подобия следует, что ' (MN) / (BC) = (AM) / (AB) = >MN = (BC*AM) / (AB) = (10*6) / 10=6'.

Треугольник MND - прямоугольный.

А вот теперь идёт утверждение, которое я никак не могу доказать, но которое показалось мне верным и привело меня к верному ответу. Утверждение следующее:

Треугольники NMD и BMC подобны (опять мне кажется, что дело в подобиях по двум углам, и у того, и у другого есть прямой угол, т. е. углы NMD и BMC равны, но вот как доказать равенство других углов?).

Из подобия следует: ' (BM) / (NM) = (BC) / (NC) = >NC = (BC*NM) / (BM) = (10*6) / 8=15/2' - это мы нашли диаметр. Радиус тогда равен 'R = (NC) / 2=15/4' - верный ответ.