В трапеции основания равны 12 и 24. а боковые ребра равны 10. В каждый из углов трапеции вписана окружность радиуса 1. Найдите площадь четырехугольника, вершинами которого являются центры этих окружностей

Центры вписанных в углы данной равнобокой трапеции равноудалены от сторон данной трапеции на 1 (радиус). соединив центры, мы имеем меньшую трапецию, стороны которой параллельны сторонам данной нам трапеции, то есть имеем подобные трапеции. Найдем высоту данной нам трапеции. Половина азности оснований (24-12) : 2 = 6 - это катет бокового треугольника в трапеции, гипотенуза равна 10. Значит высота равна √ (100-36) = 8.

Тогда высота новой подобной трапеции равна 6 (8-1-1). Коэффициент подобия, следовательно, равен 8/6 = 4/3.

Площадь данной нам трапеции равна полусумме оснований, умноженную на высоту, то есть (12+24) : 2*8=144. Тогда площадь новой трапеции равна (144*3) : 4 = 108.