Биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O, причем угол AOB = углу BOC = 110 градусам. а) докажите, что треугольник ABC - равнобедренный, и укажите его основание. б) найдите углы данного треугольника

рассмотрим BOC ОС=ОА (радиуси опис. окр.)

ВО-общая

углы ВОС и ВОА равни

треугольникиВОС=ВОА

ВС=ВА - треуг АВС-равн. сосн АС

б) уголСОА=360-2 * (110) = 140 град

треуг. СОА-равн. (СО=АО)

уголОСА=ОАС = (180-СОА) / 2=20 град.

углыОВС=ОСВ = (180-СОВ) / 2=35 (треуг. СВО - равн) ОС=ОВ (радиуси опис. окр.)

углыОВА=ОАВ = (180-ВОА) / 2=35

уголВАС=55 АСВ=55 АВС=70

Пусть угол А=2 а, то есть биссектриса делит его на два угла, равным а, аналогично с углом В (2 в) и углом С (2 с).

Рассматриваем треугольник АВО и треугольник ОВС:

По т. о сумме углов треугольника в треугольнике АВО:

110+а+в=180,

в треугольнике ОВС:

с+в+110=180.

Приравниваем, получаем:

110+а+в=110+с+в

а=с

Значит, 2 а=2 с, а значит, угол С равен углу А, следовательно треугольник АВС - равнобедренный с основание АС.

Дальше:

угол АОС = 360-110-110 = 140.

Треугольник АОС, по т. о сумме углов треугольника:

а+с+140=180, но т. к. а=с:

2 а+140=180

2 а=40, значит угол А=угол С=40.

Тогда угол В по т. о сумме углов трегольника: 180-40-40=100.