Доказать формулу Лейбница. Если G - точка пересечения медиан треугольника ABC, а P - любая точка, то

GA + GB + GC = 0; (1)

если G - точка пересечения медиан. На самом деле это соотношение можно вообще считать определением, но и в обычном школьном определении это тривиально показать, так как

GA + GB = 2*GM = - GC;

где M - середина AB

Тогда

3*PG = PA + PB + PC; (2)

для любой точки P - это сразу видно, если подставить

PA = PG + GA; PB = PG + GA; PC = PG + GC;

Из (1) после возведения в квадрат

0 = GA^2 + GB^2 + GC^2 + 2 (GA*GB + GA*GB + GB*GC); (3)

а из (2)

9*PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2 (PA*PB + PA*PC + PB*PC) =

PA^2 + PB^2 + PC^2 + 2 ((PG + GA) * (PG + GB) + (PG + GA) * (PG + GC) + (PG + GB) * (PG + GC)) = PA^2 + PB^2 + PC^2 + 6*PG^2 + 4*PG * (GA + GB + GC) + 2 (GA*GB + GA*GC + GB*GC);

если учесть (1) и (3), получается

3*PG^2 = PA^2 + PB^2 + PC^2 - (GA^2 + GB^2 + GC^2)

Везде жирным шрифтом обозначены вектора, а PA*PB означает в этих случаях скалярное произведение.

ЧТД