найти центральный угол и радиус описанной окружности правильного многоугольника сторона которого равна 10 см а радиус вписанной в него окружности 5 корень из 3 см

Сторона правильного n-угольника равна a = 2Rsin (180°/n), откуда R = a/2sin (180°/n)

Радиус вписанной окружности равен r = Rcos (180°/n), откуда R = r/cos (180°/n). Приравняем эти два равенства:

a/2sin (180°/n) = r/cos (180°/n)

10/2sin (180°/n) = √3 / (cos/180°/n)

5/sin (180°/n) = 5√3 (cos180°/n)

5sin (180°/n) = 5√3cos (180°/n)

sin (180°/n) = √3cos (180°/n)

Это равенства выполняется тогда, когда cosA = 1/2, sinA = √3/2. Тогда угол правильного многоугольника равен 60° = > данный многоугольник - треугольник.

Центральный угол будет равен 1/3•360° = 120° (т. к. отрезки, соединяющие центр описанной окружности с вершинами, будут равны и образовывать равные между собой углы).

Радиус описанной окружности тогда равен R = 10/2•√3/2 = 10√3 см.

Ответ: R = 10√3 см, центральный угол = 120°.