Треугольник с вершинами А (-2; 0), B (14; 12) и C (0; 14) вписан в круг. Найдите площадь этого круга

Вершины треугольника - это концы соответствующих векторов.

Пусть вектор а = вектор ВС, вектор b=вектор АС и вектор с=векторАВ.

Найдем координаты векторов. Координаты вектора равны разности соответствующих координат точек его конца и начала.

Тогда вектор а (Хс-Хb; Yc-Yb) = a (0-14; 14-12) = a (-14; 2).

Вектор b (Хс-Хa; Yc-Ya) = b (0 - (-2); 14-0) = b (2; 14).

Вектор c (Хb-Хa; Yb-Ya) = с (14 - (-2); 12-0) = с (16; 12).

Найдем длины сторон треугольника (модули векторов а, b и с).

Модуль или длина вектора: |a|=√ (Хa²+Ya²).

Тогда |a|=√ (Хa²+Ya²) = √ (196+4) = 10√2.

|b|=√ (Хb²+Yb²) = √ (4+196) = 10√2.

|c|=√ (Хc²+Yc²) = √ (286+144) = 20.

Формула радиуса описанной окружности:

R=a*b*c/4S, где a, b, c - стороны треугольника, р - его полупериметр.

В нашем случае полупериметр равен 10+10√2.

Тогда по формуле Герона:

S=√[ (10+10√2) * 10*10*[ (10√2) ²-10²) ] или

S=100.

R=a*b*c/4S = (10√2*10√2*20) / (4*100) = 10.

Площадь круга равна Sк=πR².

В нашем случае Sк=π*100.

Ответ: S=100π.