Как доказать, что площади подобных треугольников равны коэффициенту подобия в квадрате?

Легко. площадь треугольника равна (a*b*sinC) / 2. коэфициент подобия к. тогда: рассмотрим 2 подобных треугольника: первый со сторонами х и у тогда его площадь s1 = (ху*sinC) / 2, по формуле, а у второго треугольника по подобию стороны равны к*х и к*у, поскольку углы у подобных треугольников одинаковы, а поэтому синусы тоже, то площадь s2 = (k*x*k*y*sinC) / 2 опять-таки по формуле, теперь узнаём соотношение s1/s2 = (k*x*k*y) / xy (двойки и синусы самосократились) и получаем k к в квадрате