В правильной треугольной призме через сторону нижнего основания и середину противоположного ребра проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол 60 градусов площадь сечения равна S=8√3. Найдите объём и полную поверхность призмы.

Площадь основания равна площади сечения, умноженной на косинус угла наклона.

So = 8√3*cos 60° = 8√3 * (1/2) = 4√3.

Отсюда находим сторону основания по формуле площади равностороннего треугольника:

S = а²√3/4.

Сторона равна: а = √ (4So/√3) = √ (4*4√3/√3) = 4.

Находим высоту h основания (она равна проекции высоты сечения на основание):

h = a*cos 30° = 4 * (√3/2) = 2√3.

Высота H призмы равна:

H = 2h*tg 60° = 2*2√3*√3 = 4*3 = 12.

Периметр основания Р = 3 а = 3*4 = 12.

Площадь боковой поверхности Sбок = РН = 12*12 = 144.

Полная площадь поверхности призмы равна:

S = 2So + Sбок = 2*4√3 + 144 = 8√3 + 144 ≈ 157,8564 кв. ед.