Через точку P, лежащую внутри окружности и удаленную на 7 от центра, проходит хорда окружности. Точка P делит эту хорду на отрезки длиной 6 и 12. Найдите радиус окружности.

Пусть хорда пересекает окружность в точках А и В, причем АР = 12, а ВР = 6. Центр окружности - точка О. Тогда отрезок ОР = 7.

Соединим центр окружности О с точками А и В. Тогда АО = ВО = R (радиус окр.) Угол АРО = х, а угол ВРО - 180 - х

По теореме косинусов

в тр-ке АОР имеем R^2 = 12^2 + 7^2 - 2*12*7*сosx. (1)

в тр-ке ВОР имеем R^2 = 6^2 + 7^2 + 2*6*7*сosx. (2)

Приравниваем правые части выражений (1) и (2)

12^2 + 7^2 - 2*12*7*сosx = 6^2 + 7^2 + 2*6*7*сosx

12^2 - 6^2 = 12*7*3cos x/

7cos x = 3

cos x = 3/7

Из выражения (1) имеем

R^2 = 12^2 + 7^2 - 2*12*7 * 3/7

R^2 = 121

R = 11