В ΔABC медианы пересекаются в точке M. Прямая PM пересекает сторону AB в точке K, сторону AC в точке L, а точка P лежит на продолжении стороны BC за точку C.

Докажите, что 1/MK = 1/ML + 1/MP.

Задача мелькала тут 8-9 месяцев назад, но её никто так и не решил.

Примечание: использовать теорему Чевы и Менелая.

Положим что Z середина стороны BC.

1) Тогда по теореме Менелая для треугольника PZM секущая AC получаем CZ/PC*PL/ML*AM/AZ=1, но AZ медиана, значит AM/AZ=3/2, откуда PL=3ML*PC / (2CZ), значит PM=PL+ML=ML * (3PC+2CZ) / (2CZ) (*1)

2) По теореме Менелая для треугольника BKP секущая AZ получаем BZ/PZ*PM/MK*AK/AB=1

Либо, что тоже самое что

CZ / (PC+CZ) * PM/MK * AK/AB = 1

Откуда MK=PM * (CZ / (PC+CZ)) * (AK/AB) (*2)

Выразим соотношение AK/AB через PC и CZ.

3) По той же теореме для треугольника ABC, секущая PK получаем BK/AK * (AL/CL) * (PC / (PC+2CZ)) = 1.

Но (1/2) * (AL/CL) * PC / (PC+CZ) = 1 (теорема Менелая для треугольника ACZ) откуда AL/CL=2 (PC+CZ) / PC.

Значит BK/AK = (PC+2CZ) / (2PC+2CZ), откуда AK/AB=2 (PC+CZ) / (3PC+4CZ).

4) Подставляя (*2) получаем

MK=ML (3PC+2CZ) / (3PC+4CZ) (*3)

5) Из (*1) а именно PM=ML * (3PC+2CZ) / (2CZ) по условию требуется доказать что 1/ML+1/MP=1/MK подставим

1/ML+2CZ / (ML * (3PC+2CZ)) = (3PC+4CZ) / (ML * (3PC+2CZ)) = 1/MK

Откуда MK=ML (3PC+2CZ) / (3PC+4CZ)

А это и есть (*3) доказанная ранее.