Медианы прямоугольного треугольника, проведенные к катетам относятся как √2:1. Найти углы треугольника.

АВС - прямоугольный тр-ник, ∠С=90°, АК и ВМ - медианы, АК: ВМ=√2:1.

Пусть СМ=х, СК=у, тогда АС=2 х, ВС=2 у.

В тр-ке АСК АК²=АС²+СК²

2=4 х²+у².

В тр-ке ВСМ ВМ²=ВС²+СМ²,

1=4 у²+х² ⇒ х²=1-4 у², подставим это в уравнение выше:

2=4 (1-4 у²) + у²,

2=4-16 у²+у²,

15 у²=2,

у²=2/15, х²=1-8/15=7/15,

АС=2 х=√ (28/15), ВС=2 у=√ (8/15).

tgA=ВС/АС=√ (8/28) = √ (2/7).

∠А=arctg√ (2/7) ≈28°,

∠B=∠C-∠A=90-28≈62°.

Ответ: углы треугольника АВС равны 28°, 62° и 90° соответственно.