Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника ABC проведен к его плоскости перпендикуляр KO. Докажите, что наклонные KA, KB и KC равны. Вычислите длины проекций этих наклонных на плоскости треугольника, если AC=BC=a.

Середина гипотенузы прямоугольного треугольник - центр описанной около прямоугольного треугольника окружности.

ОА=ОВ (по условию)

ОС - медиана - радиус описанной окружности, = >

OA=OB=OC

ОА, ОВ, ОС - проекции наклонных КА, КВ, КС = >

КА=КВ=КС - равные наклонные имеют равные проекции

по условию АС=ВС=а, = > ΔАВС прямоугольный равнобедренный

по теореме Пифагора: АВ²=АС²+ВС²

АВ²=2 а². АВ=а√2

АО=ОВ=ОС=а√2/2 длины проекций наклонных на плоскость ΔАВС

В прямоугольном треугольнике CO = AO = BO = AB/2

проводим перпендикуляр OK из точки O

имеем 3 прямоугольных треугольника AOK BOK COK

доказываем равенство этих треугольников по 2 м сторонам и углу между ними

AO = OB = OC

угол AOK = угол BOK = угол COK = 90

OK - общая сторона

т. к. треугольники равны значит соответствующие стороны тоже равны

длины проекции этих наклонных это AO BO CO

находим по теореме Пифагора