В треугольнике ABC дано угол A = Пи/3, угол B=Пи/4. Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P. Найти отношение площадей треугольников АВС и MNP

Ничего задачка, можно нарушить самозапрет на публикации.

Вся идея состоит в том, что у треугольников общая описанная окружность, а площадь можно выразить через радиус окружности и углы.

S = a*b*sin (γ) / 2 = 2*R*sin (α) * 2*R*sin (β) * sin (γ) / 2 = 2*R^2*sin (α) * sin (β) * sin (γ);

Пусть высоты CM BN и AP; (просто таким образом я определяюсь, на какой дуге лежит какая из точек M, P, N, по хорошему это все равно, как обозначить.)

Пусть ∠CAB = α = π/3; ∠CBA = β = π/4;

Тогда ∠ACM = ∠NBA = π/2 - π/3 = π/6;

А ∠APM = ∠ACM; ∠APN = ∠ABN; (высоты ABC являются биссектрисами треугольника MNP, также как для ортотреугольника)

То есть ∠NPM = 2 * (π/2 - α) = π - 2*α = π/3;

Аналогично ∠NPM = 2 * (π/2 - β) = π - 2*β = π/2; (получился прямоугольный треугольник)

Так как sin (2α) = 2*sin (α) * cos (α), то очевидно, что Smnp/Sabc = 8*cos (α) * cos (β) * cos (α + β);

Если подставить, получится

8*cos (π/3) * cos (π/4) * cos (π/3 + π/4); в данном случае надо взять по абсолютной величине, разумеется (то есть не обращать внимания, что cos (7π/2) < 0; а просто отбросить знак)

8 * (1/2) * (√2/2) * l (√2/4 - √6/4) l = √3 - 1;