В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АD перпендикулярны и

имеют одинаковую длину, равную 4. Найти стороны треугольника АВС.

Пусть точка О - точка пересечения АД и ВЕ.

В ΔАВД по условию ВО является биссектрисой и высотой, значит и медианой АО=ОД=АД/2=2, а этот треугольник - равнобедренный АВ=ВД.

ВС=2 ВД=2 АВ

По свойству биссектрисы ВС/ЕС=АВ/АЕ

2 АВ/ЕС=АВ/АЕ

ЕС=2 АЕ

АС=АЕ+ЕС=3 АЕ

Проведем из вершины В прямую, параллельную АС, до пересечения с продолжением медианы АД в точке М.

ΔАДС и ΔМДВ равны по стороне (ВД=ДС) и 2 прилежащим углам (вертикальные углы <АДС=<МДВ, накрест лежащие углы <МВД=<АСД).

Значит АС=ВМ=3 АЕ.

ΔАОЕ и ΔМОВ подобны по 2 углам:

АО/ОМ=ЕО/ВО=АЕ/ВМ=1/3

ЕО/ВО=1/3

ВО=3 ЕО

ВЕ=ВО+ЕО=4 ЕО

ЕО=ВЕ/4=4/4=1

ВО=3

Из прямоугольного ΔАОВ:

АВ²=АО²+ВО²=4+9=13

сторона АВ=√13

сторона ВС=2√13

Из прямоугольного ΔАОЕ:

АЕ²=АО²+ЕО²=4+1=5, АВ=√5

сторона АС=3√5

Ответ: √13, 2√13 и 3√5