В треугольнике АВС биссектриса ВЕ и медиана АД перпендикулярны и имеют одинаковую длину равную 168. Найдите стороны треугольника АВС

Пусть M - точка пересечения BE и AD.

В треугольнике BAD биссектриса перпендикулярна стороне, то есть AB = BD; (и между прочим, AM = MD), поскольку D - середина BC, то BC = 2*AB; отсюда по свойству биссектрисы AE/EC = AB/BC = 1/2; то есть EC = 2*AE;

Дальше можно действовать двумя способами. Если известны теоремы Чевы и Ван-Обеля, то быстро находится BM/ME = 3; второй способ это показать - надо провести через точку E прямую II BC, до пересечения с AD в точке K;

Ясно, что AK/KD = AE/EC = 1/2; откуда KM = AD/2 - AD/3 = AD/6, и KM/MD = 1/3; из подобия треугольников KME и BMD следует BM = 3*ME;

Теперь есть все, чтобы найти стороны. AM = 84; BM = 126; ME = 42;

из прямоугольного треугольника AMB легко находится AB = 42√13;

из AME = > AE = 42√5;

BC = 2*AB = 84√13;

AC = 3*AE = 126√5;